8. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Дано: Дуги \(AB:BC:CD:DA = 4:2:3:6\).

Найти: \(\angle A\)

Решение:

1. Пусть \(x\) - коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг равны \(4x, 2x, 3x, 6x\) соответственно. Сумма градусных мер всех дуг равна 360 градусам.
\(4x + 2x + 3x + 6x = 360^\circ\)
\(15x = 360^\circ\)
\(x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ\)
2. Дуга \(BCD = BC + CD = 2x + 3x = 5x = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ\)
3. Угол \(A\) - вписанный, и он опирается на дугу \(BCD\). Следовательно, \(\angle A = \frac{1}{2} \cdot дуга BCD\)
\(\angle A = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\)

Ответ: 60