577 Точки D и E лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: а) $$S_{ADE}$$, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = 3 см, AE = 2 СМ, $$S_{ABC}$$ = 10 см²; б) AD, если АВ = 8 см, АС = 3 см, AE = 2 CM, $$S_{ABC}$$ = 10CM², $$S_{ADE}$$ = 2CM².

Решение:

а) Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(C)$$, где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними. В данном случае, рассмотрим треугольники ADE и ABC, имеющие общий угол A. Тогда можно записать отношение их площадей:

$$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot sin(A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(A)} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$$ Подставим известные значения: $$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6}$$ $$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{6}{30}$$ $$S_{ADE} = \frac{6}{30} \cdot 10 = 2$$

б) Аналогично предыдущему случаю: $$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$$ Подставим известные значения: $$\frac{2}{10} = \frac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}$$ $$\frac{1}{5} = \frac{AD \cdot 2}{24}$$ $$AD = \frac{24}{5 \cdot 2} = \frac{12}{5} = 2.4$$

Ответ: а) 2 см²; б) 2.4 см