Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD. Докажи, что $$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$$.

Доказательство:

1. Выразим вектор $$\vec{MN}$$ через векторы $$\vec{MA}$$ и $$\vec{AN}$$.
2. Так как $$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$$, а также $$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BN}$$, сложим эти два равенства:
3. $$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MC}) + (\vec{DN} + \vec{BN}) + (\vec{AD} + \vec{CB})$$
4. Так как M и N — середины диагоналей, то $$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$$ и $$\vec{DN} + \vec{BN} = \vec{0}$$. Следовательно:
5. $$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{CB}$$
6. $$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$$

Что и требовалось доказать.