2. Точки В и Д лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и АДС - равнобедренные, прямоугольные (∠B =∠Д= 90°) Докажите, что прямая АВ параллельна прямой СД.

Дано: Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC равнобедренные, прямоугольные, ∠B = ∠D = 90°.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный с ∠B = 90°, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°)/2 = 45°.
2. Аналогично, так как треугольник ADC равнобедренный и прямоугольный с ∠D = 90°, то AD = DC и ∠DAC = ∠DCA = (180° - 90°)/2 = 45°.
3. ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 45° + 45° = 90°.
4. ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 45° + 45° = 90°.
5. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма его углов равна 360°. ∠ABC + ∠CDA = 90°+90°=180°. ∠BAD + ∠BCD = 90°+90°=180°.
6. Следовательно, AB || CD, так как ∠BAC = ∠DCA = 45° (накрест лежащие углы равны).

Что и требовалось доказать.