3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АB || CD.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они оба равнобедренные и прямоугольные с ∠B = ∠D = 90°.

Поскольку треугольники равнобедренные, то AB = BC и AD = DC.

Так как ∠B = ∠D = 90°, то AB ⊥ BC и AD ⊥ DC.

Пусть прямая AC является секущей для прямых AB и CD. Рассмотрим углы, образованные этими прямыми и секущей AC.

∠BAC = ∠BCA = 45° (так как ABC равнобедренный прямоугольный).

∠DAC = ∠DCA = 45° (так как ADC равнобедренный прямоугольный).

∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 45° + 45° = 90°.

∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 45° + 45° = 90°.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. ∠BAD + ∠BCD = 90° + 90° = 180°.

Так как сумма внутренних односторонних углов (∠BAD и ∠CDA) при прямых AB и CD и секущей AD равна 180°, то AB || CD.

Ответ: AB || CD.