Трапеция KMBD – сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки K, M и B. Найдите периметр данной трапеции, если K и M - середины сторон B₁C₁ и C₁D₁ соответственно и каждое ребро призмы имеет длину 8√2.

Решение:

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Ребро призмы равно \( a = 8\sqrt{2} \). Точки K и M — середины сторон B₁C₁ и C₁D₁ соответственно. Нам нужно найти периметр трапеции KMBD.

1. Определим стороны трапеции:

• KB: В прямоугольном треугольнике KB₁B, KB₁ = \( \frac{1}{2} B_1C_1 \) = \( \frac{1}{2} a = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \). BB₁ = \( a = 8\sqrt{2} \). По теореме Пифагора: \( KB = \sqrt{KB_1^2 + BB_1^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 128} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \).
• BD: Диагональ основания квадрата ABCD. \( BD = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 16 \).
• DM: В прямоугольном треугольнике C₁MD, C₁D = \( a = 8\sqrt{2} \). MD = \( \frac{1}{2} C_1D_1 \) = \( \frac{1}{2} a = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \). По теореме Пифагора: \( MD = \sqrt{C_1D^2 + C_1M^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 + 32} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \).
• KM: Отрезок KM соединяет середины двух смежных сторон квадрата B₁C₁D₁C₁. KM параллельна B₁D₁ и равна её половине. \( B_1D_1 = a\sqrt{2} = 16 \). \( KM = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{16}{2} = 8 \).

2. Вычислим периметр трапеции KMBD:

Периметр = KB + BD + DM + KM = \( 4\sqrt{10} + 16 + 4\sqrt{10} + 8 = 24 + 8\sqrt{10} \).

Ответ: 24 + 8√10