10. Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Пусть исходное число имеет вид $$100a + 10b + c$$. Тогда число, записанное в обратном порядке, имеет вид $$100c + 10b + a$$. Сумма этих чисел равна: $$100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 101a + 20b + 101c = 685$$. $$101(a+c) + 20b = 685$$. Заметим, что $$a+c$$ должно быть равно 6, так как $$101 \cdot 7 = 707 > 685$$, а $$101 \cdot 5 = 505$$, и в этом случае $$20b$$ должно быть равно $$685-505 = 180$$, что невозможно (b не может быть равно 9). Если $$a+c=6$$, то $$101 \cdot 6 + 20b = 606 + 20b = 685$$, откуда $$20b = 79$$, что также невозможно (b не может быть равно 3.95). Поэтому рассмотрим случай, когда $$a+c = 5$$. Тогда $$101*5 + 20b = 505 + 20b = 685$$. Отсюда $$20b = 180$$, следовательно $$b=9$$. Сумма цифр исходного числа $$a+b+c = (a+c) + b = 5 + 9 = 14$$. Ответ: 14