Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми 1. В единичном кубе А. Д. найдите расстояние между прямыми ВА, и DB

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Решение:

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром равным 1.

2. Проведем диагональ \(A_1C\). \(A_1C\) и \(BD\) - скрещивающиеся прямые.

3. Построим общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым \(A_1C\) и \(BD\).

4. Общий перпендикуляр к \(A_1C\) и \(BD\) является отрезком \(MN\), где \(M\) и \(N\) - середины \(A_1C\) и \(BD\) соответственно.

5. Найдем расстояние между прямыми \(A_1C\) и \(BD\):

6. Расстояние между \(A_1C\) и \(BD\) равно длине отрезка \(MN\).

7. Рассмотрим тетраэдр \(A_1BCD\).

8. Тетраэдр \(A_1BCD\) является правильным тетраэдром, так как все его ребра равны \(\sqrt{2}\).

9. Расстояние между прямыми \(A_1C\) и \(BD\) равно высоте тетраэдра \(A_1BCD\).

10. Найдем высоту тетраэдра \(A_1BCD\):

11. Высота тетраэдра \(A_1BCD\) равна \(\frac{a\sqrt{6}}{3}\), где \(a\) - длина ребра тетраэдра.

12. Подставим значение \(a\):

13. Высота тетраэдра \(A_1BCD\) равна \(\frac{\sqrt{2}\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{12}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

14. Следовательно, расстояние между прямыми \(A_1C\) и \(BD\) равно \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)