6. Треугольник $$ABC$$ — прямоугольный ($$\angle C = 90^\circ$$), $$AC = 4$$ см, проекция катета $$BC$$ на гипотенузу равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника $$ABC$$.

Обозначим гипотенузу $$AB$$ как $$c$$, катет $$BC$$ как $$a$$, а катет $$AC$$ как $$b$$. Проекция катета $$BC$$ на гипотенузу равна 6 см. Обозначим проекцию катета $$BC$$ как $$BC'$$. Таким образом, $$BC' = 6$$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $$a^2 = c \cdot BC'$$

Также известно, что $$b = AC = 4$$ см.

Выразим $$a^2$$ из равенства: $$a^2 = 6c$$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABC$$: $$a^2 + b^2 = c^2$$

Подставим $$a^2 = 6c$$ и $$b = 4$$ в теорему Пифагора:

$$6c + 4^2 = c^2$$

$$c^2 - 6c - 16 = 0$$

Решим это квадратное уравнение относительно $$c$$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Воспользуемся теоремой Виета: $$c_1 + c_2 = 6$$

$$c_1 \cdot c_2 = -16$$

Тогда $$c_1 = 8$$ и $$c_2 = -2$$. Так как длина гипотенузы не может быть отрицательной, то $$c = 8$$ см.

Ответ: 8 см