4. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом В, ∠С = 30°, точка К — середина катета ВС, высота ВН равна 24. Найдите длину отрезка НК.

Давай решим эту задачу вместе! Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом B, ∠C = 30°, точка K — середина катета BC, высота BH равна 24. Нужно найти длину отрезка HK. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 30°, следовательно, ∠A = 90° - 30° = 60°. Рассмотрим треугольник BHC: он также прямоугольный (так как BH - высота). В этом треугольнике, ∠BCH = 30°, значит, ∠HBC = 90° - 30° = 60°. Теперь рассмотрим треугольник ABH: он также прямоугольный. В этом треугольнике, ∠BAH = 60°, значит, ∠ABH = 90° - 60° = 30°. Так как ∠HBC = 60° и ∠ABH = 30°, то ∠HBK = ∠HBC - ∠ABH = 60° - 30° = 30°. Рассмотрим треугольник BHK: он прямоугольный (∠BHK = 90°). В этом треугольнике, ∠HBK = 30°. Мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, HK = 1/2 * BK. Так как K - середина BC, то BK = 1/2 * BC. Теперь рассмотрим треугольник BHC. В этом треугольнике, BH = 24. Так как ∠BCH = 30°, то BH является катетом, прилежащим к этому углу. Мы можем выразить BC через BH и cos(30°): cos(30°) = BH / BC BC = BH / cos(30°) = 24 / (√3/2) = 24 * (2/√3) = 48/√3 = 16√3 Тогда BK = 1/2 * BC = 1/2 * 16√3 = 8√3 Теперь вернемся к треугольнику BHK: HK = 1/2 * BK = 1/2 * 8√3 = 4√3

Ответ: HK = 4√3

Отличная работа, ты почти у цели!