8. Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, АВ = АЕ, угол АКВ прямой. В каком отношении точка К должна делить отрезок ВЕ, чтобы прямые АВ и СЕ были параллельными?

Пусть треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AB = AE, и угол AKB прямой. Требуется определить, в каком отношении точка K должна делить отрезок BE, чтобы прямые AB и CE были параллельными.

Пусть BK = x и KE = y, тогда BE = x + y. Наша задача - найти отношение x/y.

Поскольку AB || CE, то угол ABE равен углу CEB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CE и секущей BE). Также угол BAC равен углу ACE (как соответственные углы при параллельных прямых AB и CE и секущей AC).

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то углы BAC и BCA равны. Значит, угол ACE равен углу BCA.

Так как угол AKB прямой (90°), то треугольник AKB прямоугольный. Также AB = AE, поэтому треугольник ABE равнобедренный (AB = AE), следовательно, углы ABE и AEB равны.

По условию, угол AKB = 90°. Треугольник ABE равнобедренный, значит, углы при основании равны: ∠ABE = ∠AEB.

Чтобы AB || CE, необходимо выполнение условия ∠ABE = ∠CEB. Поскольку AB = AE, треугольник ABE равнобедренный, поэтому ∠ABE = ∠AEB.

Пусть ∠ABE = α. Тогда ∠CEB = α.

Так как AB || CE, то треугольник BKA подобен треугольнику CKE (по двум углам: ∠KBA = ∠KEC и ∠AKB = ∠CKE = 90°).

Из подобия треугольников BKA и CKE следует пропорция: BK / KE = BA / CE

x / y = AB / CE

Так как AB = AE, нужно найти соотношение AE к CE.

Рассмотрим треугольники ABK и CEK. Угол AKB прямой, AB = AE. Нужно найти, в каком отношении точка K делит отрезок BE, чтобы AB || CE.

Допустим, что K - середина BE, тогда BK = KE. В этом случае x = y, значит x/y = 1.

Если K - середина BE, то треугольники ABK и CEK должны быть равны (или хотя бы подобны). Для равенства треугольников необходимо, чтобы AK был медианой и высотой в треугольнике ABE, а CE была параллельна AB. При этом должно выполняться BK/KE = AB/CE.

Чтобы AB || CE, точка K должна делить отрезок BE в отношении 1:1. Это означает, что K является серединой отрезка BE.

Ответ: 1:1