8. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: М (-6; 1), N (2; 4), К (2; -2). а) Докажите, что MNK- равнобедренный; б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

a) Докажем, что ΔMNK - равнобедренный.

Найдем длины сторон MN, NK, MK:

$$MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

$$NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

$$MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Так как MN = MK = √73, то ΔMNK - равнобедренный.

б) Найдем высоту, проведенную из вершины М.

Высота, проведенная из вершины М, является медианой и биссектрисой, так как ΔMNK - равнобедренный. Обозначим высоту точкой H.

Найдем координаты точки H, которая является серединой отрезка NK:

$$x_H = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$$

$$y_H = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

H(2; 1)

Найдем длину высоты MH:

$$MH = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: a) ΔMNK - равнобедренный; б) MH = 8