3.Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М(-6;1), N(2;4), K(2;-2). а) Докажите, что треугольник МNK – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

a) Доказать, что треугольник MNK равнобедренный, означает доказать, что две стороны треугольника равны.

Для нахождения длин сторон используем формулу расстояния между двумя точками:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$, где $$d$$ - расстояние между двумя точками, $$(x_1; y_1)$$ и $$(x_2; y_2)$$ - координаты этих точек.

Сторона MN:

$$MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Сторона NK:

$$NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Сторона MK:

$$MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Так как MN = MK = $$\sqrt{73}$$, то треугольник MNK - равнобедренный.

б) Высота, проведенная из вершины M, будет перпендикулярна стороне NK.

Так как NK - вертикальная линия (x-координаты точек N и K совпадают), то высота, проведенная из вершины M, будет горизонтальной линией.

Координаты точки H, основания высоты, будут (2; 1), так как x-координата будет та же, что и у N и K, а y-координата будет та же, что и у M.

Длина высоты MH:

$$MH = |x_M - x_H| = |-6 - 2| = |-8| = 8$$

Ответ: а) доказано, MN = MK; б) 8