Треугольники $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ расположены так, что точки $A,B,C$ являются серединами отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ лежат на одной прямой.

Question

Вопрос: $Фото задания: Треугольники $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ расположены так, что точки $A,B,C$ являются серединами отрезков…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим центроиды треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ через $G$, $G_1$, $G_2$ соответственно.

Так как $A$, $B$, $C$ — середины соответствующих отрезков, то

\[A=\frac{A_1+A_2}{2},\qquad B=\frac{B_1+B_2}{2},\qquad C=\frac{C_1+C_2}{2}.\]

Сложим эти равенства:

\[A+B+C=\frac{A_1+B_1+C_1}{2}+\frac{A_2+B_2+C_2}{2}.\]

Делим на 3 и учитываем, что $G=\frac{A+B+C}{3}$, $G_1=\frac{A_1+B_1+C_1}{3}$, $G_2=\frac{A_2+B_2+C_2}{3}$:

\[G=\frac{G_1+G_2}{2}.\]

Значит, точка $G$ является серединой отрезка $G_1G_2$. Следовательно, точки $G_1$, $G$, $G_2$ лежат на одной прямой.

Ответ: центроиды трёх треугольников коллинеарны; центроид $ABC$ — середина отрезка, соединяющего центроиды $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$.