В тетраэдре ABCD точки M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN || AC, и найдите отношение длин этих отрезков.

Точка пересечения медиан треугольника является его центроидом. Поэтому в векторной форме:

\(\vec{AM}=\frac13(\vec{AD}+\vec{AB})\), то есть \(M=\frac{A+B+D}{3}\); аналогично \(N=\frac{B+C+D}{3}\).

Тогда

\[\vec{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{B+C+D}{3}-\frac{A+B+D}{3}=\frac13(\vec{C}-\vec{A})=\frac13\vec{AC}.\]

Следовательно, \(\vec{MN}\) коллинеарен \(\vec{AC}\), значит, \(MN\parallel AC\), а \(MN=\frac13AC\).

Ответ: \(MN\parallel AC\), \(MN:AC=1:3\).