Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны (см. рисунок). Точки D и D₁ — середины отрезков AC и A₁C₁ соответственно. Докажите, что BD = B₁D₁.

1. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны: AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

2. Так как D и D₁ — середины соответствующих сторон, AD = A₁D₁.

3. Поскольку D лежит на AC, а D₁ — на A₁C₁, имеем ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.

4. Значит, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними. У равных треугольников соответствующие стороны равны.

Ответ: BD = B₁D₁.