Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 различных по величине угла. Каждый угол измеряется целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть углы будут $$x, y, z$$, где $$x < y < z$$. Тогда $$x + y + z = 360$$. По условию, $$z = 7x$$. Подставим это в уравнение суммы углов: $$x + y + 7x = 360$$, что дает $$8x + y = 360$$. Выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = 360 - 8x$$. Так как $$x < y < z$$, мы имеем: $$x < 360 - 8x < 7x$$ Разделим неравенство на два: 1) $$x < 360 - 8x$$ $$9x < 360$$ $$x < 40$$ 2) $$360 - 8x < 7x$$ $$360 < 15x$$ $$x > 24$$ Итак, $$24 < x < 40$$. Так как $$x$$ целое число, то $$x$$ может принимать значения от 25 до 39 включительно. Тогда значения $$y$$ будут: $$y = 360 - 8x$$ Так как $$y$$ должно быть целым числом и $$x < y < 7x$$, то нужно проверить, сколько значений $$x$$ дают целые значения $$y$$ и удовлетворяют условию $$x < y < 7x$$. Минимальное значение $$x = 25$$, тогда $$y = 360 - 8*25 = 360 - 200 = 160$$. Проверим условие: $$25 < 160 < 7*25 = 175$$. Подходит. Максимальное значение $$x = 39$$, тогда $$y = 360 - 8*39 = 360 - 312 = 48$$. Проверим условие: $$39 < 48 < 7*39 = 273$$. Подходит. Поскольку $$x$$ может быть любым целым числом в диапазоне от 25 до 39, надо найти, сколько таких чисел существует. Количество возможных значений $$x$$ равно $$39 - 25 + 1 = 15$$. Значит, $$x$$ может принимать 15 различных значений. Для каждого значения $$x$$ получается одно значение $$y$$, удовлетворяющее условиям. Ответ: 15