Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трех окружностей.

Пусть радиусы окружностей равны r1 = 2, r2 = 3, r3 = 10. Тогда стороны треугольника равны:

• a = r1 + r2 = 2 + 3 = 5
• b = r2 + r3 = 3 + 10 = 13
• c = r1 + r3 = 2 + 10 = 12

Полупериметр треугольника: p = (a + b + c) / 2 = (5 + 13 + 12) / 2 = 15

Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(15(15-5)(15-13)(15-12)) = √(15 * 10 * 2 * 3) = √900 = 30

Радиус вписанной окружности: r = S / p = 30 / 15 = 2

Ответ: 2