Три прямые AB, CD и MN пересекаются в точке O, AB ⟂ CD, ∠AOM = 15°. Найдите ∠AON и угол между биссектрисами углов BON и COM.

Так как лучи OM и ON противоположны, углы ∠AOM и ∠AON составляют развернутый угол:

∠AON = 180° − 15° = 165°.

Поскольку AB ⟂ CD, ∠BOD = 90°. Поэтому ∠BON = 90° − 15° = 75°? По рисунку луч ON расположен между OB и OC, и ∠BON = 15°: лучи OB и OA противоположны, как и ON и OM, значит ∠BON = ∠AOM = 15°.

Тогда биссектриса ∠BON делит его пополам: ∠BON/2 = 7,5°. Угол ∠COM смежен с ∠AOM и прямым углом ∠AOC: ∠COM = 90° + 15° = 105°. Его биссектриса образует с OC угол 52,5°.

Угол между указанными биссектрисами равен 180° − 7,5° − 52,5° = 120°? Первая биссектриса направлена внутри ∠BON, а вторая — внутри ∠COM; направления этих лучей различаются на 135°. Следовательно, меньший угол между прямыми-биссектрисами равен 45°, а между их лучами, заданными углами, — 135°.

Под «углом между биссектрисами» понимается меньший угол между прямыми, содержащими биссектрисы.

Ответ: ∠AON = 165°, угол между биссектрисами прямых — 45°.