Тригонометрия на ОГЭ ІІІ. Практика. Задание №15 №1. В остроугольном треугольнике АВС известно, что высота АН = √51, AB = 10. Найдите sin ∠BAH. №2. В треугольнике АВС АВ = BC, CH = 33 и ВН = = 17. Найдите cos ∠ ВАН.

№1. В остроугольном треугольнике АВС известно, что высота АН = √51, AB = 10. Найдите sin ∠BAH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН, в котором АВ - гипотенуза, АН и ВН - катеты.

Синус угла ∠BAH - это отношение противолежащего катета (ВН) к гипотенузе (АВ).

Выразим катет ВН из теоремы Пифагора: $$AB^2=AH^2+BH^2$$, следовательно, $$BH^2=AB^2-AH^2$$

Подставим значения:

$$BH^2=10^2-(\sqrt{51})^2=100-51=49$$

$$BH=\sqrt{49}=7$$

Найдем синус угла ∠BAH:

$$sin∠BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{7}{10}=0.7$$

Ответ: 0.7

№2. В треугольнике АВС АВ = BC, CH = 33 и ВН = 17. Найдите cos ∠ ВАН.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, АН = НС.

Найдем сторону АВ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН: $$AB^2=AH^2+BH^2$$

Найдем АН: AH = AC - CH = BC - CH.

Так как CH = 33 и ВН = 17, то ВС = CH + BH = 33 + 17 = 50.

Получаем, что AС = 50, АH = AС - CH = 50 - 33 = 17.

Найдем АВ: $$AB^2=AH^2+BH^2 = 17^2+17^2 = 289+289 = 578$$

$$AB=\sqrt{578}=17\sqrt{2}$$

Косинус угла ∠ВАН - это отношение прилежащего катета (АН) к гипотенузе (АВ).

$$cos∠BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{17}{17\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$