482 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны, угол ABC = 135°. Проведем высоту BK из вершины B к основанию AD. По условию AK = 1.4 см, KD = 3.4 см.

Т.к. трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны, т.е. угол BAD = угол CDA, угол ABC = углу BCD. Угол BAK = 180° - 135° = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABK угол BAK = 45°, тогда угол ABK = 45°, следовательно, ABK - равнобедренный и AK = BK = 1.4 см.

Проведем высоту CF из вершины C к основанию AD. Тогда трапеция ABFC - прямоугольник, CF = BK = 1.4 см. AF = AB. FC = AK + KD = 1.4 + 3.4 = 4.8 см, следовательно, AB = 4.8 см.

DF = AK = 1.4 см. CD = KD - KC = KD - AK = 3.4 - 1.4 = 2 см.

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BK$$ $$S = \frac{4.8 + 2}{2} \cdot 1.4 = \frac{6.8}{2} \cdot 1.4 = 3.4 \cdot 1.4 = 4.76 \text{ см}^2$$

Ответ: 4.76 см²