580 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$AB = CD$$, угол $$BAD = 135^\circ$$, $$BH$$ - высота, проведенная из вершины $$B$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = 1.4 \text{ см}$$, $$HD = 3.4 \text{ см}$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AH = (AD - BC)/2$$. Обозначим $$BC = x$$. Тогда $$AD = AH + HD = 1.4 + 3.4 = 4.8 \text{ см}$$.

Имеем $$1.4 = (4.8 - x)/2$$, откуда $$2.8 = 4.8 - x$$, значит, $$x = BC = 4.8 - 2.8 = 2 \text{ см}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$BAH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$. Значит, и угол $$ABH = 45^\circ$$, и треугольник $$ABH$$ равнобедренный, т.е. $$BH = AH = 1.4 \text{ см}$$.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{2 + 4.8}{2} \cdot 1.4 = \frac{6.8}{2} \cdot 1.4 = 3.4 \cdot 1.4 = 4.76 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$4.76 \text{ см}^2$$