482 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где угол $$ABC = 135°$$. Проведем высоту $$BH$$ из вершины $$B$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = 1,4 \text{ см}$$, $$HD = 3,4 \text{ см}$$.

Так как трапеция равнобедренная, угол $$BAD$$ тоже равен $$135°$$. Угол $$BAH = 180° - 135° = 45°$$. Значит, треугольник $$ABH$$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $$AH = BH = 1,4 \text{ см}$$.

Проведем высоту $$CK$$ из вершины $$C$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AK = HD = 3,4 \text{ см}$$, и $$CD = HK$$.

$$AD = AH + HK + KD = AH + CD + KD$$. Так как трапеция равнобедренная, $$AH = KD = 1,4 \text{ см}$$.

Тогда $$AD = 1,4 + CD + 1,4$$. Также $$AD = AH + HD = 1,4 + 3,4 = 4,8 \text{ см}$$.

Подставим значение $$AD$$ в уравнение: $$4,8 = 1,4 + CD + 1,4$$. Отсюда $$CD = 4,8 - 2,8 = 2 \text{ см}$$.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{1}{2} (BC + AD) \cdot BH = \frac{1}{2} (CD + AD) \cdot BH$$

Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} (2 + 4,8) \cdot 1,4 = \frac{1}{2} \cdot 6,8 \cdot 1,4 = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76 \text{ см}^2$$

Ответ: 4,76 см²