5. У Ксюши есть фиолетовые, синие и красные бусины. Она нанизывает бусины на нитку в таком порядке: одну фиолетовую, две красные, три синие, снова фиолетовые, но уже четыре, потом пять красных и так далее. Последней будет нанизана синяя бусина. 1) Какого цвета тридцатая по счёту бусина? 2) Сколько на нитке всего фиолетовых бусин, если красных бусин всего 40?

1) Чтобы определить цвет тридцатой бусины, нужно понять закономерность. Фиолетовые: 1, потом через 2+3=5, потом через 4+5=9, и так далее. То есть фиолетовые бусины идут в позициях 1, 1+5, 1+5+9, и так далее. Красные: 2, 3, 4, 5, ... Синие: 3, 4, 5, 6, ... Попробуем найти номер последней красной бусины. Так как красных бусин всего 40, то последняя красная бусина идет под номером: \[2 + 3 + 4 + ... + 40 + 41 = \frac{(2+41) \cdot 40}{2} = \frac{43 \cdot 40}{2} = 43 \cdot 20 = 860\] Сумма арифметической прогрессии равна \[S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\] Теперь определим, сколько всего бусин на нитке. Последняя бусина синяя, значит надо сложить все числа от 1 до 42: \[1 + 2 + 3 + ... + 42 = \frac{(1+42) \cdot 42}{2} = \frac{43 \cdot 42}{2} = 43 \cdot 21 = 903\] Тридцатая бусина будет: 1 фиолетовая 2 красная 3 синяя 4 фиолетовая 5 красная 6 синяя 7 фиолетовая 8 красная 9 синяя 10 фиолетовая ... Позиции фиолетовых бусин: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31... Таким образом, 30-я бусина не фиолетовая. Проверим для красных: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 Тоже не красная. Проверим синие: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 30-я бусина - синяя. Ответ: 1) Синяя. 2) Попробуем найти фиолетовые бусины. Фиолетовые бусины в позициях 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40... В общем виде: \[3n - 2\] где n - номер фиолетовой бусины. Так как красных бусин всего 40, мы уже посчитали, что последняя красная бусина - 41-я по счету. Следовательно, максимальный номер бусины - 41 + (41-1) = 81. Тогда решим неравенство: \[3n - 2 \le 81\] \[3n \le 83\] \[n \le \frac{83}{3} \approx 27.67\] Значит, всего 27 фиолетовых бусин. Ответ: 2) 27