Решение задачи 2

Пусть a = 8 см, b = 4√3 см, угол α = 150°.

Площадь параллелограмма равна:

$$S = a \cdot b \cdot \sin{\alpha}$$ $$S = 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin{150°}$$ $$S = 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Для нахождения меньшей диагонали воспользуемся теоремой косинусов:

$$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\alpha}$$

Угол между сторонами при меньшей диагонали равен 150°.

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{150°}}$$ $$d = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos{150°}}$$ $$d = \sqrt{64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})}$$ $$d = \sqrt{112 + 64\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$d = \sqrt{112 + 32 \cdot 3}$$ $$d = \sqrt{112 + 96}$$ $$d = \sqrt{208}$$ $$d = \sqrt{16 \cdot 13}$$ $$d = 4\sqrt{13} \text{ см}$$

Ответ: Площадь параллелограмма равна $$16\sqrt{3} \text{ см}^2$$, меньшая диагональ равна $$4\sqrt{13} \text{ см}$$.