14 У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Ова со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчии подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см?

Пусть $$h_n$$ - высота, на которую подлетит попрыгунчик после $$n$$-го отскока. Тогда $$h_1 = 240$$ см.

По условию, после каждого следующего отскока высота уменьшается в два раза, то есть $$h_{n+1} = \frac{h_n}{2}$$.

Нам нужно найти такое $$n$$, что $$h_n < 5$$.

Имеем геометрическую прогрессию, где $$h_1 = 240$$, а $$q = \frac{1}{2}$$. Тогда $$h_n = h_1 \cdot q^{n-1} = 240 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$$.

Решим неравенство: $$240 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} < 5$$

$$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{5}{240}$$

$$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{48}$$

Так как $$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$$ и $$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$$, то $$n-1 > 5$$

$$n > 6$$

Высота станет меньше 5 см после 7 отскока.

Ответ: 7