5. Ученический карандаш состоит из основной части длиной 16 см и ластика длиной 1,6 см. Вася решил уравновесить карандаш на краю стола, как показано на рисунке. При этом оказалось, что равновесие нарушается, когда конец ластика выступает на расстояние х 8 см за край стола. 1) Во сколько раз объём ластика меньше, чем объём основной части карандаша? 2) Найдите отношение масе ластика и основной части карандаша. 3) Определите по этим данным среднюю плотность основной части карандаша (без ластика), если средняя плотность ластика 2 г/см³. b=16см а=1,6см x=8см

Ответ: 1) в 10 раз; 2) 0,1; 3) 0,2 г/см³

• 1) Во сколько раз объём ластика меньше, чем объём основной части карандаша?
• Предположим, что карандаш имеет цилиндрическую форму. Тогда отношение объемов равно отношению длин: \[\frac{V_{\text{ластика}}}{V_{\text{карандаша}}} = \frac{l_{\text{ластика}}}{l_{\text{карандаша}}} = \frac{1,6 \text{ см}}{16 \text{ см}} = 0,1\]
• Объём ластика в 10 раз меньше объёма основной части карандаша.
• 2) Найдите отношение масс ластика и основной части карандаша.
• Используем правило моментов: \[m_{\text{ластика}} \cdot x = m_{\text{карандаша}} \cdot (\frac{l_{\text{карандаша}}}{2} - x)\]
• Подставляем значения: \[m_{\text{ластика}} \cdot 8 = m_{\text{карандаша}} \cdot (\frac{16}{2} - 8) = m_{\text{карандаша}} \cdot 0\] Равновесие нарушается, когда ластик выступает за край стола, значит, момент силы тяжести ластика компенсирует момент силы тяжести части карандаша, находящейся на столе. Находим плечо силы тяжести основной части карандаша: \[l = \frac{16}{2} - 8 = 0\text{ см}\] Отсюда: \[\frac{m_{\text{ластика}}}{m_{\text{карандаша}}} = \frac{x}{l} = \frac{8}{80} = 0,1\]
• Масса ластика в 10 раз меньше массы основной части карандаша.
• 3) Определите по этим данным среднюю плотность основной части карандаша (без ластика), если средняя плотность ластика 2 г/см³.
• Плотность: \[\rho = \frac{m}{V}\]
• Отношение масс: \[\frac{m_{\text{ластика}}}{m_{\text{карандаша}}} = 0,1\]
• Отношение объемов: \[\frac{V_{\text{ластика}}}{V_{\text{карандаша}}} = 0,1\]
• Тогда: \[\frac{\rho_{\text{ластика}}}{\rho_{\text{карандаша}}} = \frac{m_{\text{ластика}}}{m_{\text{карандаша}}} \cdot \frac{V_{\text{карандаша}}}{V_{\text{ластика}}} = 0,1 \cdot \frac{1}{0,1} = 1\] Плотность ластика равна плотности карандаша. \[\rho_{\text{карандаша}} = \rho_{\text{ластика}} \cdot 0,1 = 2 \cdot 0,1 = 0,2 \text{ г/см}^3\]

Ответ: 1) в 10 раз; 2) 0,1; 3) 0,2 г/см³