Углы при основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите меньшую боковую сторону этой трапеции, если её основания равны 5 и 8.

Разность оснований: \(8-5=3\). Пусть высота трапеции равна \(h\). Горизонтальные проекции боковых сторон равны \(h\cot 30^\circ\) и \(h\cot 60^\circ\), поэтому

\[h\left(\cot30^\circ+\cot60^\circ\right)=3.\]

Так как \(\cot30^\circ=\sqrt3\), \(\cot60^\circ=\frac1{\sqrt3}\), получаем \(h=\frac{3\sqrt3}{4}\). Боковые стороны:

\[\frac{h}{\sin30^\circ}=\frac{3\sqrt3}{2},\qquad \frac{h}{\sin60^\circ}=\frac32.\]

Ответ: \(\frac32\).