Углы треугольника $$ABC$$ относятся так: $$\angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3$$. Биссектриса $$BM$$ угла $$ABC$$ равна 12. Найдите длину отрезка $$MC$$.

Пусть $$\angle A = x$$, тогда $$\angle B = 2x$$ и $$\angle C = 3x$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому: $$x + 2x + 3x = 180^\circ$$ $$6x = 180^\circ$$ $$x = 30^\circ$$ Таким образом, $$\angle A = 30^\circ$$, $$\angle B = 60^\circ$$, $$\angle C = 90^\circ$$. Треугольник $$ABC$$ – прямоугольный с прямым углом $$C$$. $$BM$$ – биссектриса угла $$B$$, следовательно, $$\angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} cdot 60^\circ = 30^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$BMC$$. В нем $$\angle MBC = 30^\circ$$, $$\angle C = 90^\circ$$, следовательно, $$\angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. В треугольнике $$ABM$$ $$\angle ABM = 30^\circ$$, $$\angle A = 30^\circ$$, следовательно, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, и $$AM = BM = 12$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMC$$. $$\angle MBC = 30^\circ$$. Катет, лежащий напротив угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Значит, $$MC = \frac{1}{2} BM$$. Так как дана биссектриса $$BM$$ угла $$ABC$$, и она равна 12, то $$MC = \frac{1}{2} * 12 = 6$$. Ответ: $$MC = 6$$