Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 30. Найдите длину отрезка МС. Запишите решение и ответ. 4. Тип Д14 С14 № 8347

Пусть углы треугольника ABC относятся как ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Тогда можно записать, что ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Составим уравнение:

$$x + 2x + 3x = 180$$

$$6x = 180$$

$$x = 30$$

Значит, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

BM - биссектриса угла B, следовательно, ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠A = 30° и ∠ABM = 30°. Значит, треугольник ABM равнобедренный, и AM = BM = 30.

Так как AM = BM = 30, а BM - биссектриса угла ABC, то по свойству биссектрисы треугольника:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}$$

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$\

$$\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 90°}$$\

$$BC = AB \cdot \sin 30° = AB \cdot \frac{1}{2}$$\

Таким образом, AB = 2 \cdot BC. Подставим это в уравнение для биссектрисы:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2 \cdot BC}{BC} = 2$$\ $$AM = 2 \cdot MC$$\

Так как AM = 30, то:

$$30 = 2 \cdot MC$$\ $$MC = 15$$\

Ответ: 15