Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ZC = 1 : 2 : 3.Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС. Запишите решение и ответ. 3. Тип Д14 С14 № 8075

Пусть углы треугольника ABC относятся как $$∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3$$. Тогда можно записать, что $$∠A = x$$, $$∠B = 2x$$, $$∠C = 3x$$. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Составим уравнение:

$$x + 2x + 3x = 180$$

$$6x = 180$$

$$x = 30$$

Значит, $$∠A = 30°$$, $$∠B = 60°$$, $$∠C = 90°$$. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

BM - биссектриса угла B, следовательно, $$∠ABM = ∠MBC = \frac{∠B}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем $$∠A = 30°$$ и $$∠ABM = 30°$$. Значит, треугольник ABM равнобедренный, и $$AM = BM = 6$$.

Так как AM = BM = 6, а BM - биссектриса угла ABC, то по свойству биссектрисы треугольника:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}$$

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

$$\frac{BC}{sin A} = \frac{AB}{sin C}$$\

$$\frac{BC}{sin 30°} = \frac{AB}{sin 90°}$$\

$$BC = AB \cdot sin 30° = AB \cdot \frac{1}{2}$$\

Таким образом, $$AB = 2 \cdot BC$$. Подставим это в уравнение для биссектрисы:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2 \cdot BC}{BC} = 2$$\ $$AM = 2 \cdot MC$$\

Так как AM = 6, то:

$$6 = 2 \cdot MC$$\ $$MC = 3$$\

Ответ: 3