Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B : ∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АБ равна 12. Найдите длину отрезка МС.

1. Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника: x + 2x + 3x = 180°, откуда 6x = 180°, x = 30°.
2. ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.
3. Треугольник ABC - прямоугольный. BM - биссектриса угла B. По теореме о биссектрисе: AB/BC = AM/MC. Также, по теореме синусов: AC/sin(60°) = BC/sin(30°), откуда BC = AC * sin(30°)/sin(60°) = AC * (1/2)/(√3/2) = AC/√3.
4. В прямоугольном треугольнике ABC: AB = AC * tan(30°) = AC/√3. Значит, AB = BC.
5. AB/BC = 1. Следовательно, AM/MC = 1, то есть AM = MC. Так как BM = 12, то MC = 12.