4. Углы треугольника АВС относятся так: ZA:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 2x\), \(\angle C = 3x\).

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \(x + 2x + 3x = 180°\), откуда \(6x = 180°\) и \(x = 30°\).

Таким образом, \(\angle A = 30^{\circ}\), \(\angle B = 60^{\circ}\), \(\angle C = 90^{\circ}\). Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C.

BM - биссектриса угла B, значит, \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).

Рассмотрим треугольник ABM. В нем \(\angle A = 30^{\circ}\) и \(\angle ABM = 30^{\circ}\), следовательно, треугольник ABM равнобедренный с AB = AM.

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC лежит против угла 30°, значит, AC = 1/2 * AB. Пусть AM = x, тогда AC = 0.5x.

Тогда MC = AM - AC = x - 0.5x = 0.5x.

Рассмотрим треугольник BCM. \(\angle MBC = 30^{\circ}\), \(\angle C = 90^{\circ}\), значит, \(BM = \frac{MC}{sin30^{\circ}} = 2MC\). Известно, что BM = 6, значит, MC = 3.

Ответ: длина отрезка MC равна 3.