290 Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен Θ. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как a и b, а высоту параллелепипеда как h.

Из условия задачи известно, что диагональ основания равна l, и угол между этой диагональю и стороной a равен φ. Тогда:

\[a = l \cos{\varphi}\] \[b = l \sin{\varphi}\]

Угол между стороной a и диагональю параллелепипеда равен Θ. Диагональ параллелепипеда D можно выразить через диагональ основания l и высоту h:

\[D = \sqrt{l^2 + h^2}\]

Также, из условия:

\[\cos{\Theta} = \frac{a}{D} = \frac{l \cos{\varphi}}{\sqrt{l^2 + h^2}}\]

Выразим h через известные величины:

\[l^2 + h^2 = \frac{l^2 \cos^2{\varphi}}{\cos^2{\Theta}}\] \[h^2 = l^2 \left(\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\Theta}} - 1\right)\] \[h = l \sqrt{\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\Theta}} - 1}\]

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна:

\[S = 2(a + b)h = 2(l \cos{\varphi} + l \sin{\varphi}) \cdot l \sqrt{\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\Theta}} - 1}\] \[S = 2l^2 (\cos{\varphi} + \sin{\varphi}) \sqrt{\frac{\cos^2{\varphi}}{\cos^2{\Theta}} - 1}\]

Проверка за 10 секунд: Вырази стороны основания через диагональ и угол φ, затем найди высоту и площадь боковой поверхности.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Важно уметь выражать одни параметры фигуры через другие, используя тригонометрию.