Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 32°. Через точку С проведена касательная, пересека прямую АВ в точке DD. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Разбираемся:

Доказательство:

• Угол BAC = 32°.
• Угол BOC (центральный) = 2 * BAC = 2 * 32° = 64°.
• Угол OCA = угол OAC (треугольник AOC равнобедренный, OA = OC = радиус)
• Угол AOC = 180° - 2*угол OAC, тогда 2*угол ОАС = 180 - угол АОС
• Треугольник АОС равнобедренный, значит, угол OAC = (180° - 64°)/2 = 58°.
• Угол ACB = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр)
• Угол BCD = 90° - угол OCA = 90° - 58° = 32° (угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними).
• Угол ADC = 180° - угол DAC - угол ACD.
• Угол ACD = угол BCA - угол BCD = 90 - 32 = 58°
• Угол D = 180 - 32 - 58 = 90 °
• Так как углы DAC и DCA равны 32°, то треугольник ACD равнобедренный (углы при основании равны).

Доказано: Треугольник ACD равнобедренный.