637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

1. Дано: Окружность с диаметром $$AB$$. Хорда $$AC$$ образует с диаметром $$AB$$ угол $$\angle BAC = 30^{\circ}$$. Касательная в точке $$C$$ пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$.
2. Требуется доказать: Треугольник $$ACD$$ - равнобедренный.

Доказательство:

1. $$\angle ACB = 90^{\circ}$$ (угол, опирающийся на диаметр - прямой).

2. $$\angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $$90^{\circ}$$).

3. $$\angle BCD = \angle BAC = 30^{\circ}$$ (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).

4. $$\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$.

5. $$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ACD$$ (сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$).

6. $$\angle DAC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$$ (смежные углы).

7. $$\angle ADC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

8. В треугольнике $$ACD$$: $$\angle ADC = 30^{\circ}$$ и $$\angle DAC = 30^{\circ}$$. Значит, $$\angle ADC = \angle DAC$$, следовательно, треугольник $$ACD$$ - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.