3 Угол между плоскостями треугольников АВС и АКС равен 60°, АС = 24 см, ВС = ВА = 20 см, КС = КА = 15 см. Найдите отрезок BK.

1. Пусть АВС и АКС - треугольники с общей стороной АС = 24 см. Угол между плоскостями треугольников равен 60°. ВС = ВА = 20 см, КС = КА = 15 см. Пусть АМ - медиана треугольника АВС, а AN - медиана треугольника АКС. Тогда АМ перпендикулярна ВС, а AN перпендикулярна КС. Угол между плоскостями АВС и АКС равен углу между медианами АМ и AN, то есть угол MAN = 60°.

2. Найдем медиану АМ в треугольнике АВС:

$$AM = \sqrt{\frac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(20^2 + 24^2) - 20^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(400 + 576) - 400}{4}} = \sqrt{\frac{2(976) - 400}{4}} = \sqrt{\frac{1952 - 400}{4}} = \sqrt{\frac{1552}{4}} = \sqrt{388} = 2\sqrt{97}$$.

3. Найдем медиану AN в треугольнике АКС:

$$AN = \sqrt{\frac{2(AK^2 + AC^2) - KC^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(15^2 + 24^2) - 15^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(225 + 576) - 225}{4}} = \sqrt{\frac{2(801) - 225}{4}} = \sqrt{\frac{1602 - 225}{4}} = \sqrt{\frac{1377}{4}} = \frac{3\sqrt{153}}{2}$$.

4. Найдем ВК по теореме косинусов в треугольнике BNC:

$$BK^2 = BC^2 + KC^2 - 2 \cdot BC \cdot KC \cdot cos(60^\circ)$$.

$$BK^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 400 + 225 - 300 = 325$$.

$$BK = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$$.

Ответ: $$5\sqrt{13}$$