Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол B = 120°. Проведена высота AH к боковой стороне BC, AH = 9 см. Нужно найти основание AC.

1. Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как AH - высота. Угол ABH = 120° - 90° = 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°, а угол BAH = 90° - (180° - 120°) = 90-60=30, значит угол BAH=30 градусов ).

2. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, AH = 1/2 * AB, отсюда AB = 2 * AH = 2 * 9 = 18 см.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов найдем сторону AC:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * \cos{B} $$

Так как AB = BC, то:

$$ AC^2 = 18^2 + 18^2 - 2 * 18 * 18 * \cos{120°} $$

Известно, что cos(120°) = -1/2.

$$ AC^2 = 324 + 324 - 2 * 324 * (-1/2) = 648 + 324 = 972 $$ $$ AC = \sqrt{972} = \sqrt{324 * 3} = 18\sqrt{3} $$

Ответ: $$18\sqrt{3}$$ см