264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Решение задачи 264: 1. **Изобразим равнобедренный треугольник ABC**, где угол B равен 120°. Высота, проведённая из вершины A к боковой стороне BC, обозначена как AH, и AH = 9 см. Нужно найти основание AC. 2. **Рассмотрим треугольник ABH.** В нём угол AHB равен 90° (так как AH - высота). Обозначим угол ABH как β. Тогда, поскольку ABC - равнобедренный треугольник, угол BAC равен углу BCA, и каждый из них равен (180° - 120°) / 2 = 30°. 3. **Угол ABH** составляет половину угла ABC, поскольку AH – высота. Получается, что $$\angle ABH = 120^{\circ}$$ 4. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. В нем $$\angle AHB = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$ 5. **Найдём сторону AB (боковую сторону треугольника ABC).** В прямоугольном треугольнике ABH, $$sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$$. Следовательно, $$AB = \frac{AH}{sin(\angle ABH)} = \frac{9}{sin(60^{\circ})} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$ см. 6. **Найдём основание AC.** Теперь рассмотрим треугольник ABC. Используем теорему синусов: $$\frac{AC}{sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{sin(\angle BCA)}$$. Получаем: $$AC = \frac{AB \cdot sin(\angle ABC)}{sin(\angle BCA)} = \frac{6\sqrt{3} \cdot sin(120^{\circ})}{sin(30^{\circ})} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$$ см. **Ответ:** Основание треугольника равно 18 см.