617. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 3, 5, 7, ..., сумма которых не превосходит 120.

Ответ: 10

Пусть n - количество членов арифметической прогрессии. Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

   \[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\]

где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

В нашем случае a₁ = 3, d = 5 - 3 = 2. Подставим эти значения в формулу:

   \[S_n = \frac{2 \cdot 3 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = \frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{4 + 2n}{2} \cdot n = (2 + n) \cdot n = n^2 + 2n\]

Нам нужно найти наибольшее n, при котором Sₙ ≤ 120, то есть

   \[n^2 + 2n \le 120\]

   \[n^2 + 2n - 120 \le 0\]

Решим квадратное уравнение n² + 2n - 120 = 0:

   \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484\]

   \[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

   \[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

Так как n должно быть положительным, берем n = 10.

Проверим:

   \[S_{10} = 10^2 + 2 \cdot 10 = 100 + 20 = 120\]

Если возьмем n = 11:

   \[S_{11} = 11^2 + 2 \cdot 11 = 121 + 22 = 143\]

Таким образом, наибольшее число членов арифметической прогрессии, сумма которых не превосходит 120, равно 10.

Ответ: 10