Умник загадал три последовательных натуральных числа. Первое он умножил на два, второе на три, третье на шесть, после чего все результаты произведений сложил. Какое из перечисленных чисел у него не могло получиться?

Решение:

Пусть умник загадал числа n, n+1, n+2. Тогда после умножения и сложения получаем:

2n + 3(n+1) + 6(n+2) = 2n + 3n + 3 + 6n + 12 = 11n + 15

Полученное число всегда будет иметь вид 11n + 15, где n - натуральное число. Нужно найти, какое из чисел не может быть представлено в таком виде. Проверим варианты:

Если 11n + 15 = 126, то 11n = 111, n = 111/11 - не целое число.

Если 11n + 15 = 148, то 11n = 133, n = 133/11 - не целое число.

Если 11n + 15 = 160, то 11n = 145, n = 145/11 - не целое число.

Если 11n + 15 = 171, то 11n = 156, n = 156/11 - не целое число.

Если 11n + 15 = 182, то 11n = 167, n = 167/11 - не целое число.

Число 11n + 15 = 126, 148, 160, 171, 182 не может быть получено при натуральном n.

Нужно проверить следующее утверждение: Если 11n + 15 = x, то x-15 делится на 11 без остатка.

Тогда x-15 = 11n.

Если x = 126, то 126 - 15 = 111, 111 / 11 = 10,09 не делится.

Если x = 148, то 148 - 15 = 133, 133 / 11 = 12,09 не делится.

Если x = 160, то 160 - 15 = 145, 145 / 11 = 13,18 не делится.

Если x = 171, то 171 - 15 = 156, 156 / 11 = 14,18 не делится.

Если x = 182, то 182 - 15 = 167, 167 / 11 = 15,18 не делится.

126 = 11 * 10 + 16

148 = 11 * 12 + 16

160 = 11 * 13 + 17

171 = 11 * 14 + 17

182 = 11 * 15 + 17

Если взять n = 1, то 2*1 + 3*2 + 6*3 = 2 + 6 + 18 = 26

Если взять n = 2, то 2*2 + 3*3 + 6*4 = 4 + 9 + 24 = 37

Если взять n = 3, то 2*3 + 3*4 + 6*5 = 6 + 12 + 30 = 48

Если взять n = 4, то 2*4 + 3*5 + 6*6 = 8 + 15 + 36 = 59

Проверим еще раз: 11n + 15

11 * 1 + 15 = 26

11 * 2 + 15 = 37

11 * 3 + 15 = 48

11 * 4 + 15 = 59

Ответ: Ни один из перечисленных чисел у него не могло получиться.