Упростить: 1) (a^−3 + b^−3) · (a^−2 − b^−2)^−1 · (a^−2 − a^−1b^−1 + b^−2)^−1; 2) (a^−2b − ab^−2) · (a^−2 + a^−1b^−1 + b^−2)^−1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим выражения на множители:
\(a^{-3}+b^{-3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}\),
\(a^{-2}-b^{-2}=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\),
\(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2b^2}\).
Тогда
\(\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}\cdot\frac{a^2b^2}{b^2-a^2}\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-ab+b^2}=\frac{ab}{b-a}\).
\(a^{-2}b-ab^{-2}=\frac{b^3-a^3}{a^2b^2}=\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}\),
\(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}=\frac{a^2+ab+b^2}{a^2b^2}\).
Следовательно,
\(\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}\cdot\frac{a^2b^2}{a^2+ab+b^2}=b-a\).

Ответ: 1) \(\frac{ab}{b-a}\); 2) \(b-a\).