Упростить: 1) $$\frac{sin^2 \alpha}{1 - sin^2 \alpha} \cdot ctg^2 \alpha$$ 2) $$2 sin t + \frac{2 cos^2 t}{1 + sin t}$$ 3) $$2 sin^2 2\alpha + cos 4\alpha$$ 4) $$(sin \alpha + cos \alpha)^2 - sin 2\alpha$$ 5) $$\frac{2 sin^2 \alpha}{1 - cos 2\alpha}$$

1) Упростим выражение $$\frac{sin^2 \alpha}{1 - sin^2 \alpha} \cdot ctg^2 \alpha$$: Используем тригонометрические тождества: $$1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha$$ и $$ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$$. Тогда выражение примет вид: $$\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \cdot \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = 1$$ Ответ: 1 2) Упростим выражение $$2 sin t + \frac{2 cos^2 t}{1 + sin t}$$: Представим $$cos^2 t$$ как $$1 - sin^2 t$$: $$2 sin t + \frac{2(1 - sin^2 t)}{1 + sin t}$$ Разложим $$1 - sin^2 t$$ как разность квадратов: $$(1 - sin t)(1 + sin t)$$. $$2 sin t + \frac{2(1 - sin t)(1 + sin t)}{1 + sin t} = 2 sin t + 2(1 - sin t) = 2 sin t + 2 - 2 sin t = 2$$ Ответ: 2 3) Упростим выражение $$2 sin^2 2\alpha + cos 4\alpha$$: Используем формулу $$cos 4\alpha = cos^2 2\alpha - sin^2 2\alpha$$: $$2 sin^2 2\alpha + cos^2 2\alpha - sin^2 2\alpha = sin^2 2\alpha + cos^2 2\alpha$$ Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 x + cos^2 x = 1$$. $$sin^2 2\alpha + cos^2 2\alpha = 1$$ Ответ: 1 4) Упростим выражение $$(sin \alpha + cos \alpha)^2 - sin 2\alpha$$: Раскроем квадрат: $$sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha - sin 2\alpha$$ Используем формулу $$2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$$ и основное тригонометрическое тождество $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$: $$1 + sin 2\alpha - sin 2\alpha = 1$$ Ответ: 1 5) Упростим выражение $$\frac{2 sin^2 \alpha}{1 - cos 2\alpha}$$: Используем формулу $$cos 2\alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha$$: $$\frac{2 sin^2 \alpha}{1 - (1 - 2 sin^2 \alpha)} = \frac{2 sin^2 \alpha}{2 sin^2 \alpha} = 1$$ Ответ: 1