Вычислить: 6) $$4 sin 165^\circ cos 165^\circ$$ 7) $$sin \alpha \cdot sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) + 2 sin(\pi + \alpha)$$ при $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$ 8) $$49\sqrt{6} sin 2x$$, если $$cos x = -\frac{5}{7}$$ и $$0 < x < \pi$$

6) Вычислим $$4 sin 165^\circ cos 165^\circ$$: Используем формулу двойного угла: $$sin 2x = 2 sin x cos x$$: $$4 sin 165^\circ cos 165^\circ = 2 \cdot (2 sin 165^\circ cos 165^\circ) = 2 sin (2 \cdot 165^\circ) = 2 sin 330^\circ$$ $$sin 330^\circ = sin (360^\circ - 30^\circ) = -sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$ $$2 sin 330^\circ = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$$ Ответ: -1 7) Вычислим $$sin \alpha \cdot sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) + 2 sin(\pi + \alpha)$$ при $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$: $$sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -cos \alpha$$ $$sin(\pi + \alpha) = -sin \alpha$$ Выражение принимает вид: $$-sin \alpha cos \alpha - 2 sin \alpha = -sin \frac{\pi}{3} cos \frac{\pi}{3} - 2 sin \frac{\pi}{3}$$ $$sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{4\sqrt{3}}{4} = -\frac{5\sqrt{3}}{4}$$ Ответ: $$-\frac{5\sqrt{3}}{4}$$ 8) Вычислим $$49\sqrt{6} sin 2x$$, если $$cos x = -\frac{5}{7}$$ и $$0 < x < \pi$$: $$sin 2x = 2 sin x cos x$$ $$sin x = \sqrt{1 - cos^2 x} = \sqrt{1 - (-\frac{5}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{49 - 25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$$ $$sin 2x = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} \cdot (-\frac{5}{7}) = -\frac{20\sqrt{6}}{49}$$ $$49\sqrt{6} sin 2x = 49\sqrt{6} \cdot (-\frac{20\sqrt{6}}{49}) = -20 \cdot 6 = -120$$ Ответ: -120