Упростить выражение: 1) (sin³(−α) + cos³(−α)) / (1 − sin(−α) cos(−α)); 2) (1 − (sin α + cos(−α))²) / (−sin(−α)).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем формулы: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\).
\[\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}=\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}.\]
Разложим разность кубов:
\[\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)}{1+\sin\alpha\cos\alpha}.\]
Так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), выражение равно \(\cos\alpha-\sin\alpha\).
\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), \(-\sin(-\alpha)=\sin\alpha\).
\[\frac{1-(\sin\alpha+\cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}=\frac{1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha}.\]
\[\frac{1-(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=-2\cos\alpha.\]

Ответ: 1) \(\cos\alpha-\sin\alpha\); 2) \(-2\cos\alpha\).