Упростить выражение: 3a / (a-3) + (a+5) / (6-2a) * 54 / (5a+a²)

Решение:

1. Приведем знаменатели к общему виду, учитывая, что $$6 - 2a = -2(a - 3)$$ и $$5a + a^2 = a(5 + a)$$.
2. \[ \frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{-2(a-3)} \cdot \frac{54}{a(5+a)} \]
3. Приведем к общему знаменателю первое и второе слагаемое, а затем выполним умножение:
4. \[ \frac{3a \cdot (-2(a-3))}{(a-3) \cdot (-2(a-3))} + \frac{(a+5) \cdot 54}{-2(a-3)a(5+a)} = \frac{-6a(a-3) - 54(a+5)}{-2(a-3)(a+5)a} \]
5. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
6. \[ \frac{-6a^2 + 18a - 54a - 270}{-2a(a-3)(a+5)} = \frac{-6a^2 - 36a - 270}{-2a(a-3)(a+5)} \]
7. Вынесем общий множитель -6 из числителя:
8. \[ \frac{-6(a^2 + 6a + 45)}{-2a(a-3)(a+5)} \]
9. Сократим дробь на -2:
10. \[ \frac{3(a^2 + 6a + 45)}{a(a-3)(a+5)} \]

Ответ:

\[ \frac{3(a^2 + 6a + 45)}{a(a-3)(a+5)} \]