Упростить выражение \(\frac{2}{x-4}:\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x\).

ОДЗ: \(x\ne4\), \(x\ne-4\), \(x\ne-8\), \(x\ne0\).

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим разность квадратов:

\[\frac{2}{x-4}:\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x=\frac{2}{x-4}\cdot\frac{x^2-16}{x+8}-\frac1x.\]

Так как \(x^2-16=(x-4)(x+4)\), сокращаем:

\[\frac{2}{x-4}\cdot\frac{(x-4)(x+4)}{x+8}-\frac1x=\frac{2(x+4)}{x+8}-\frac1x.\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{2x(x+4)-(x+8)}{x(x+8)}=\frac{2x^2+8x-x-8}{x(x+8)}=\frac{2x^2+7x-8}{x(x+8)}.\]

Ответ: \(\frac{2x^2+7x-8}{x(x+8)}\), при \(x\ne-8,-4,0,4\).