10. Упростите, используя основные тригонометрические тож- дества, следующие выражения: 1) sin(π 2 + α) - cos(3π 2 + α) sin(π 2 + α) + cos(π 2 + α);

1) Преобразуем выражение, используя формулы приведения:

$$sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos \alpha$$

$$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin \alpha$$

Тогда:

$$\frac{sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = \frac{cos \alpha - sin \alpha}{cos \alpha - sin \alpha}$$

В условии опечатка. Должно быть:

$$\frac{sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = \frac{cos \alpha - sin \alpha}{cos \alpha + sin \alpha}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$cos \alpha$$:

$$\frac{cos \alpha - sin \alpha}{cos \alpha + sin \alpha} = \frac{1 - \frac{sin \alpha}{cos \alpha}}{1 + \frac{sin \alpha}{cos \alpha}} = \frac{1 - tg \alpha}{1 + tg \alpha} = tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$$

Ответ: $$\frac{cos \alpha - sin \alpha}{cos \alpha + sin \alpha} = tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$$