1. Упростите выражение √8mn²√4m² n³. 1) 2mn; 2) 2m²n: 3) 2mn²; 4) 4m²n.

Для упрощения выражения √8mn²√4m² n³ необходимо выполнить следующие действия:

1. Представим выражение в виде произведения корней: $$\sqrt{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^2n^3} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot m \cdot m^2 \cdot n^2 \cdot n^3}$$
2. Выполним умножение числовых и буквенных частей под корнем: $$\sqrt{32 m^3 n^5}$$
3. Вынесем из-под корня множители, которые можно представить в виде квадратов: $$\sqrt{16 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot m \cdot n^4 \cdot n} = \sqrt{4^2 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot m \cdot (n^2)^2 \cdot n} = 4mn^2\sqrt{2mn}$$

Однако, среди предложенных вариантов нет такого ответа. Вероятно, в задании есть опечатка. Если бы выражение было $$\sqrt[3]{8mn^2}\sqrt[3]{4m^2 n^3}$$, то решение было бы следующим:

1. $$\sqrt[3]{8mn^2} \cdot \sqrt[3]{4m^2n^3} = \sqrt[3]{8 \cdot 4 \cdot m \cdot m^2 \cdot n^2 \cdot n^3}$$
2. $$\sqrt[3]{32m^3n^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 4 \cdot m^3 \cdot n^3 \cdot n^2} = 2mn\sqrt[3]{4n^2}$$

И снова нет верного ответа. Если бы задание было $$\sqrt{8mn^2 \cdot 4m^2 n^3}$$, то решение было бы таким:

1. $$\sqrt{8mn^2 \cdot 4m^2 n^3} = \sqrt{32m^3n^5} = \sqrt{16m^2n^4 \cdot 2mn} = 4mn^2\sqrt{2mn}$$

Предположим, что в задании необходимо было найти значение выражения $$\sqrt[6]{8mn^2 \cdot 4m^2 n^3}$$:

1. $$\sqrt[6]{8mn^2 \cdot 4m^2 n^3} = \sqrt[6]{32m^3n^5} = \sqrt[6]{2^5m^3n^5}$$

И снова нет верного ответа. Если бы задание звучало так: $$\sqrt[3]{8mn^2 \cdot \sqrt{4m^2 n^3}}$$, то решение было бы следующим:

1. $$\sqrt[3]{8mn^2 \cdot \sqrt{4m^2 n^3}} = \sqrt[3]{8mn^2 \cdot 2m\sqrt{n^3}} = \sqrt[3]{16m^2n^2\sqrt{n^3}} $$

Среди предложенных ответов нет верного. Проверим условие еще раз.

Предположим, что задание звучит так: $$\sqrt{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^4 n^4}$$

1. $$\sqrt{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^4 n^4} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot m \cdot m^4 \cdot n^2 \cdot n^4} = \sqrt{32m^5n^6} = \sqrt{16m^4n^6 \cdot 2m} = 4m^2n^3\sqrt{2m}$$

И снова нет верного ответа. Если бы задание звучало так: $$\sqrt[3]{8m^3n^2} \cdot \sqrt[3]{4m^3 n^3}$$, то решение было бы следующим:

1. $$\sqrt[3]{8m^3n^2} \cdot \sqrt[3]{4m^3 n^3} = \sqrt[3]{8 \cdot 4 \cdot m^3 \cdot m^3 \cdot n^2 \cdot n^3} = \sqrt[3]{32m^6n^5} = \sqrt[3]{8m^6n^3 \cdot 4n^2} = 2m^2n\sqrt[3]{4n^2}$$

Снова нет верного ответа. Предположим, что в условии первая скобка в кубе:

1. $$\sqrt[3]{8m^3n^2} \cdot \sqrt{4m^2 n^3} = 2m\sqrt[3]{n^2} \cdot 2m\sqrt{n^3} = 4m^2\sqrt[3]{n^2} \cdot n\sqrt{n} $$

Среди предложенных вариантов нет правильного. Если бы в условии было $$\sqrt{4m^4 n^4}$$, то вычисления были бы такими:

1. $$\sqrt{4m^4 n^4} = 2m^2n^2$$

Предположим, что задание $$\sqrt{m^8n^2} \cdot \sqrt{4m^2 n^6}$$:

1. $$\sqrt{m^8n^2} \cdot \sqrt{4m^2 n^6} = m^4n \cdot 2m n^3 = 2m^5n^4$$

Если бы условие было $$\sqrt{(4m^2n)^2}$$, то ответ был бы таким:

1. $$\sqrt{(4m^2n)^2} = 4m^2n$$

Ответ: Среди предложенных вариантов нет верного.