4. Упростите выражение: (a-6+61/a+6) : a²+25 / a²+12a+36 · 2 / a-6

4. Упростим выражение: $$\left(a-6+\frac{61}{a+6}\right) : \frac{a^2+25}{a^2+12a+36} \cdot \frac{2}{a-6}$$.

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках

$$\left(\frac{(a-6)(a+6)+61}{a+6}\right) : \frac{a^2+25}{(a+6)^2} \cdot \frac{2}{a-6} = \frac{a^2-36+61}{a+6} : \frac{a^2+25}{(a+6)^2} \cdot \frac{2}{a-6} = \frac{a^2+25}{a+6} : \frac{a^2+25}{(a+6)^2} \cdot \frac{2}{a-6}$$.

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь: $$\frac{a^2+25}{a+6} \cdot \frac{(a+6)^2}{a^2+25} \cdot \frac{2}{a-6}$$.

Сократим, получим: $$\frac{(a+6) \cdot 2}{a-6} = \frac{2a+12}{a-6}$$.

Ответ: $$\frac{2a+12}{a-6}$$